Доказательство формулы производной сложной функции. Частные производные для функции от нескольких переменных Найти частные производные сложной функции

Пусть функция z - /(х, у) определена в некоторой области D на плоскости хОу. Возьмем внутреннюю точку (х, у) из области D и дадим х приращение Ах такое, чтобы точка (х + Ах, у) 6 D (рис.9). Величину назовем частным приращением функции z по х. Составим отношение Для данной точки (х, у) это отношение является функцией от Определение. Если при Ах -* 0 отношение ^ имеет конечный предел, то этот предел называется частной производной функции z = /(х, у) по независимой переменной х в точке (х, у) и обозначается символом jfc (или /i(x, jj), или z"x(x, Та ним образом, по определению или, чтотоже самое, Аналогично Если и - функция п независимых переменных, то Заметив, что Arz вычисляется при неизменном значении переменной у, a Atz - при неизменном значении переменной х, определения частных производных можно сформулировать так: Частные производные Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Дифференцируемость функции нескольких переменных Необходимые условия дифференцируемости функции Достаточные условия дифференцируемсти функций нескольких переменных Полный дифференциал. Частные дифференциалы Производные сложной функции частной производной по х функции z = /(х, у) называется обычная производная этой функции по х, вычисленная в предположении, что у - постоянная; частной производной по у функции z - /(х, у) называется ее производная по у, вычисленная в предположении, что х - постоянная. Отсюда следует, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, доказанными для функции одной переменной. Пример. Найти частные производные функции 4 Имеем Заменами*. Из существования у функции г = /(х, у) в данной точке частных производных по всем аргументам не вытемает непрерывности функции в этой точке. Так, функция не является непрерывной в точке 0(0,0). Однако в этой точке указанная функция имеет частные производные по х и по у. Это следует из того, что /(х, 0) = 0 и /(0, у) = 0 и поэтому Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Пусть в трехмерном пространстве поверхность S задана уравнением где f(x, у) - функция, непрерывная в некоторой области D и имеющая там частные производные по х и по у. Выясним геометрический смысл этих производных в точке Мо(хо,уо) 6 D, которой на поверхности z = f{x}y) соответствует точка f(x0}yo)). При нахождении частной производной вточке М0 мы полагаем, что z является только функцией аргумента х, тогда как аргумент у сохраняет постоянное значение у = уо, т. е. Функция fi(x) геометрически изображается кривой L, по которой поверхность S пересекается плоскостью у = у о. В силу геометрического смысла производной функции одной переменной f\(xo) = tg а, где а - угол, образованный касательной к линии L в точке JV0 с осью Ох (рис. 10). Но так что Такимобразом, частная производная ($|) равнатангенсуугла а между осью Ох и касательной в точке N0 к кривой, полученной в сечении поверхности z = /(х, у) плоскостью у Аналогично получаем, что §6. Дифференцируемость функции нескольких переменных Пусть функция z = /(х, у) определена в некоторой области D на плоскости хОу. Возьмем точку (х, у) € D и выбранным значениям х и у дадим любые приращения Ах и Ду, но такие, чтобы точка. Определение. Функция г = /(х, у) называется дифференцируемой * точке (ж, у) € 2Э, если полное прирашение этой функции, отвечающее приращениям Дх, Ду аргументов, можно представить в виде где Л и В не зависят от Дх и Д у (но вообще зависят от х и у), а а(Дх, Ду) и /?(Дх, Ду) стремятся к нулю при стремлении к нулю Дх и Ду. . Если фунмция z = /(х, у) дифференцируема в точке (х, у), то часть А Дх 4- ВДу приращения функции, линейная относительно Дх и Ду, называется полным дифференциалом этой функции в точке (х, у) и обозначается символом dz: Таним образом, Пример. Пусть г = х2 + у2. Во всякой точке (г,у) и для любых Дх и Ду имеем Здесь. тек что а и /3 стремятся к нулю при стремлении к нулю Дх и Ду. Согласно определению, данная функция дифференцируема в любой точке плоскости хОу. При этом Заметим, что в наших рассуждениях не был формально исключен тот случай, когда приращения Дх, Ду порознь или даже оба сразу равны нулю. Формулу (1) можно записать более компактно, если ввести выражение (расстояние между точками (Пользуясь им, можем написать Обозначив выражение, стоящее в скобнах, через е, будем иметь где с зависит от Дж, Ду и стремится к нулю, если Дж 0 и Ду 0, или, короче, если р 0. Формулу (1), выражающую условие дифференцируемости функции z = f{xt у) в точке (ж, у), можно теперь записать в виде Так, в приведенном выше примере 6.1. Необходимые условия дифференцируемое™ функции Теореме 4. Если функция г = /(ж, у) дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна. 4 Если в точке (ж, у) фунлшя г = /(ж, у) дифференцируема, то полное приращение функции я в этой точ»«е, отвечающее приращениям Дж и Ду аргументов, можно представи ть в виде (величины Л, В для данной точки постоянны; , откуда следует, что Последнее означает, что в точке (ж, у) функция г /(ж, у) непрерывна. Теорем! б. Если функция г = /(ж, у) дифференцируема в данной точке, mo око ы.иеет в этой точке частные производные $§ и. Пусть функция z = /(х, у) дифференцируемад точке (х, у). .Тогда прираше^ Дг этой функции, отвечающее приращениям Дх, Ау аргументов, можно представить в виде (1). Взяв в равенстве (1) Дх Ф 0, Ду = 0, получим откуда Так как в правой части последнего равенства величина А не зависит от, Это означает, что в точке (х, у) существует частная производная функции г = /{х, у) по х, причем Подобными же рассуждениями убеждаемся (х, существует частная производная функции zу, причем Из теоремы следует, что Подчеркнем, что теорема 5 утверждает существование частных производных только в точке (х, у), но ничего не говорит о непрерывности их в этой точке, а также об их поведении в окрестности точки (х, у). 6.2. Достаточные условия дифференцируемое™ функций нескольких переменных Как известно, необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции у = /(х) одной переменной в точке хо являетсясу шествование конечной производной /"(х) в точке х0. В случае, когда функция зависит от нескольких переменных, дело обстоит значительно сложнее: необходимых и достаточных условий дифференцируемости нет уже для функ ии z = /(х, у) двух независимых переменных х, у; есть лишь отдельно необходимые условия (см. выше) и отдельно - достаточные. Эти достаточные условия дифференцируемости функций нескольких переменных выражаются следующей теоремой. Теорема в. Если функция имеет частные производные /£ и f"v в некоторой окрестности тонки (хо, Уо) и если эти производные непрерывны в самой точке (хо,Уо), то функция z = f(x, у) дифференцируема в точке (х- Пример. Рассмотрим функцию Частные производные Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Дифференцируемость функции нескольких переменных Необходимые условия дифференцируемости функции Достаточные условия дифференцируемсти функций нескольких переменных Полный дифференциал. Частные дифференциалы Производные сложной функции Она определена всюду. Исходя из определения частных производных, имеем Для наощдрлм* дифференцируемое™ данной функции в точке 0(0,0) найдем и приращение этой точит Для дифференцируем ости функции /(х,у) = в точив 0(0,0) необходимо, чтобы функция е(Дх, Ду) быле 6всконеио малой при Дх 0 и Ду 0. Положим Д0. Тогда из формулы (1) будем иметь Поэтому функции /(х,у) = не дифференцируема в точке 0(0,0), хотя и имеет в этой точке производим fa и f"r Полученный результат объясняется тем, что производные f"z и f"t разрывны точке §7. Полный дифференциал. Частные дифференциалы Если функция г - f(z> у) дифференцируема, то ее пожьгй дифференциал dz равен Замечая, что А = В = щ, запишем формулу (1) в следующем виде Распространим понятие дифференциала функции на независимые переменные, положив дифференциалы независимых переменных равными их приращениям: После этого формула полного дифференциала функции приметвкд Пример. Пусть i - 1л(х + у2). Тогда Аналогично, если u =) есть дифференцируемая функция n независимых переменных, то Выражение называется постным дифференциалом функции z = f(x, у) по переменной х; выражение называется частным дифференциалом функции z = /(ж, у) попеременной у. Из формул (3), (4) и (5) следует, что полный дифференциал функции является суммой ее частных дифференциалов: Отметим, что полное приращение Az функции z = /(ж, у), вообще говоря, не равно сумме частных приращений. Если в точке (я, у) фунмцияг = /(ж, у) дифференцируема и дифференциал dz Ф О в этой точке, то ее полное приращение отличается от своей линейной части только на сумму последних слагаемых аАх 4- /?ДУ, которые при Аж 0 и Ау --» О являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем слагаемыелинейной части. Поэтому при dz Ф 0 линейную часть приращения дифференцируемой функции называют главной частью приращения функции и пользуются приближенной формулой которая будет тем более точной, чем меньшими по абсолютной величине будут приращения аргументов. §8. Производные сложной функции 1. Пусть функция определена в некоторой области D на плоскости хОу, причем каждая из переменных ж, у в свою очередь является функцией аргумента t: Будем предполагать, что при изменении t в интервале (соответствующие точки (ж, у) не выходят за пределы области D. Если подставить значения в функцию z = / (ж, у), то получим сложную функцию одной переменной t. и при соответствующих значениях функция /(х,у) дифференцируема, то сложная функция, в точке t имеет производную причем M Дадим t приращение Дt. Тогда x и у получат некоторые приращения Ах и Ду. В результате этого при (Дж)2 + (Ду)2 Ф 0 функция z также получит некоторое приращение Дг, которое в силу дифференцируемости функции z = /(ж, у) в точке (х, у) может быть представлено в виде где а) стремятся к нулю при стремлении к нулю Ах и Ду. Доопределим а и /3 при Ах = Ау = 0, положив а Тогда а(будут непрерывны при Дж = Ду = 0. Рассмотрим отношение Имеем В каждом слагаемом^ в Правой части (2) оба сомножителя имеют пределы при действительно, частные производные и ^ для данной являются постоянными, по условию существуют пределы из существования производных ^ и в точке £ следует непрерывность в этой точке функций х = y(t) и у = поэтому при At 0 стремятся к нулю и Дж и Ду, что в свою очередь влечет за собой стремление к нулю а(Дх, Ду) и Р(Ах, Ау). Таким образом, правая часть равенства (2) при 0 имеет предел, равный Значит, существует при At 0 и предел левой части (2), т. е. существует равный Переходя в равенстве (2) к пределу при At -» 0, получаем требуемую формулу В частном случае, когда, следовательно, z является сложной функцией от ж, получаем В формуле (5) есть частная производная фунадииг = /(ж, у) по ж, при вычи слении которой в выражении/(ж, у) аргумент у принимается за постоянную. А есть полная производная функции z по независимой переменной ж, при вычислении которой у в выражении /(ж, у) уже не принимается за постоянную, а считается в свою очередь функцией от ж: у = tp(x)t и поэтому зависимость z от ж учитывается полностью. Пример. Найти и jg , если 2. Рассмотрим теперь дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Пусть где в свою очередь так что Предположим, что в точке (() существуют непрерывные частные производные щ, 3?» а в соответствующей точке (ж,у), где Функция /(ж, у) дифференцируема. Покажем, что при этих условиях сложная фуншия z = z({} у) в точке t7) имеет производные и щ, и найдем выражения для этих производных. Заметим, что этот случай от уже изученного существенно не отличается. Действительно, при дифференцировании z по £ вторая независимая переменная rj принимается за постоянную, вследствие чего ж и у при этой операции становятся функциями одной переменной ж" = с), у = с) и вопрос о производной Ц решается совершенно так же, как вопрос о производной при выводе формулы (3). Используя формулу (3) и формально заменяя в ней производные § и ^ на производные щ и соответственно, получим Аналогично находим Пример. Найти частные производные ^ и ^ функции г = ж2 у - хуесли х - у = Если сложная функция « Задана формулами так что то при выполнении соответствующих условий имеем В частном случае, когда И = где Частные производные Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Дифференцируемость функции нескольких переменных Необходимые условия дифференцируемости функции Достаточные условия дифференцируемсти функций нескольких переменных Полный дифференциал. Частные дифференциалы Производные сложной функции имеем Здесь т- полная.частная производная функции и по независимой переменной х, учитывающая полную зависимость и от х, втомчисле и через z = z(x,y),a ^ -частная произврдная.функдодои и = /(г,у, г) по х, при вычислении к

1°

1°. Случай одной независимой переменной . Если z=f(x,y) есть дифференцируемая функция аргументов х и у, которые в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t : , то производная сложной функции может быть вычислена по формуле

Пример. Найти , если , где .

Решение. По формуле (1) имеем:

Пример . Найти частную производную и полную производную , если .

Решение. .

На основании формулы (2) получаем .

2°. Случай нескольких независимых переменных.

Пусть z = f (x ; y ) - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t : х = x (t ), у = y (t ). В этом случае функция z = f (x (t ); y (t )) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у - промежуточные переменные.

Теорема . Если z == f (x ; у) - дифференцируемая в точке М(х;у) D функция и х = x (t ) и у =y (t ) - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z (t ) == f (x (t ); y (t )) вычисляется по формуле

Частный случай: z = f (x ; у), где у = у(х), т.е. z = f (x ; y (x )) - сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (3) имеем:

.

Последняя формула носит название формулы полной производной.

Общий случай: z = f (x ; y ), где х = x (u ; v ), y = y (u ; v ). Тогда z = f { x (u ; v ); y (u ; v )) - сложная функция независимых переменных и и v . Ее частные производные и можно найти, используя формулу (3) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней , соответствующими частными производными

Таким образом, производная сложной функции (z ) по каждой независимой переменной (и и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (x и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

Во всех рассмотренных случаях справедлива формула

(свойство инвариантности полного дифференциала).

Пример. Найти и , если z =f (x ,y ), где x =uv , .

Решение. Применяя формулы (4) и (5), получим:

Пример. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение. Функция зависит от х и у через промежуточный аргумент , поэтому

Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь:

Т. е. функция z удовлетворяет данному уравнению.

Производная в данном направлении и градиент функции

1°. Производная функции в данном направлении . Производной функции z=f (x,y) в данном направлении называется , где и - значения функции в точках и . Если функция z дифференцируема, то справедлива формула

где - углы между направлением l и соответствующими координатными осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении.

Пример. Найти производную функции z = 2х 2 - Зу 2 в точке P (1; 0) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в 120°.

Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке P .

) мы уже неоднократно сталкивались с частными производными сложных функций наподобие и более трудными примерами. Так о чём же ещё можно рассказать?! …А всё как в жизни – нет такой сложности, которую было бы нельзя усложнить =) Но математика – на то и математика, чтобы укладывать многообразие нашего мира в строгие рамки. И иногда это удаётся сделать одним-единственным предложением:

В общем случае сложная функция имеет вид , где, по меньшей мере, одна из букв представляет собой функцию , которая может зависеть от произвольного количества переменных.

Минимальный и самый простой вариант – это давно знакомая сложная функция одной переменной, производную которой мы научились находить в прошлом семестре. Навыками дифференцирования функций вы тоже обладаете (взгляните на те же функции ) .

Таким образом, сейчас нас будет интересовать как раз случай . По причине великого разнообразия сложных функций общие формулы их производных имеют весьма громоздкий и плохо усваиваемый вид. В этой связи я ограничусь конкретными примерами, из которых вы сможете понять общий принцип нахождения этих производных:

Пример 1

Дана сложная функция , где . Требуется:
1) найти её производную и записать полный дифференциал 1-го порядка;
2) вычислить значение производной при .

Решение : во-первых, разберёмся с самой функцией. Нам предложена функция, зависящая от и , которые в свою очередь являются функциями одной переменной:

Во-вторых, обратим пристальное внимание на само задание – от нас требуется найти производнУЮ , то есть, речь идёт вовсе не о частных производных , которые мы привыкли находить! Так как функция фактически зависит только от одной переменной, то под словом «производная» подразумевается полная производная . Как её найти?

Первое, что приходит на ум, это прямая подстановка и дальнейшее дифференцирование. Подставим в функцию :
, после чего с искомой производной никаких проблем:

И, соответственно, полный дифференциал:

Это решение математически корректно, но маленький нюанс состоит в том, что когда задача формулируется так, как она сформулирована – такого варварства от вас никто не ожидает =) А если серьёзно, то придраться тут действительно можно. Представьте, что функция описывает полёт шмеля, а вложенные функции меняются в зависимости от температуры. Выполняя прямую подстановку , мы получаем лишь частную информацию , которая характеризует полёт, скажем, только в жаркую погоду. Более того, если человеку не сведущему в шмелях предъявить готовый результат и даже сказать, что это за функция, то он так ничего и не узнает о фундаментальном законе полёта!

Вот так вот совершенно неожиданно брат наш жужжащий помог осознать смысл и важность универсальной формулы:

Привыкайте к «двухэтажным» обозначениям производных – в рассматриваемом задании в ходу именно они. При этом следует быть очень аккуратным в записи: производные с прямыми значками «дэ» – это полные производные , а производные с округлыми значками – это частные производные . С последних и начнём:

Ну а с «хвостами» вообще всё элементарно:

Подставим найденные производные в нашу формулу:

Когда функция изначально предложена в замысловатом виде, то будет логичным (и тому дано объяснение выше!) оставить в таком же виде и результаты:

При этом в «навороченных» ответах лучше воздержаться даже от минимальных упрощений (тут, например, напрашивается убрать 3 минуса) – и вам работы меньше, и мохнатый друг доволен рецензировать задание проще.

Однако не лишней будет черновая проверка. Подставим в найденную производную и проведём упрощения:


(на последнем шаге использованы тригонометрические формулы , )

В результате получен тот же результат, что и при «варварском» методе решения.

Вычислим производную в точке . Сначала удобно выяснить «транзитные» значения (значения функций ) :

Теперь оформляем итоговые расчёты, которые в данном случае можно выполнить по-разному. Использую интересный приём, в котором 3 и 4 «этажа» упрощаются не по обычным правилам , а преобразуются как частное двух чисел:

И, конечно же, грех не проверить по более компактной записи :

Ответ :

Бывает, что задача предлагается в «полуобщем» виде:

«Найти производную функции , где »

То есть «главная» функция не дана, но её «вкладыши» вполне конкретны. Ответ следует дать в таком же стиле:

Более того, условие могут немного подшифровать:

«Найти производную функции »

В этом случае нужно самостоятельно обозначить вложенные функции какими-нибудь подходящими буквами, например, через и воспользоваться той же формулой:

К слову, о буквенных обозначениях. Я уже неоднократно призывал не «цепляться за буквы», как за спасательный круг, и сейчас это особенно актуально! Анализируя различные источники по теме, у меня вообще сложилось впечатление, что авторы «пошли вразнос» и стали безжалостно бросать студентов в бурные пучины математики =) Так что уж простите:))

Пример 2

Найти производную функции , если

Другие обозначения не должны приводить в замешательство! Каждый раз, когда вы встречаете подобное задание, нужно ответить на два простых вопроса:

1) От чего зависит «главная» функция? В данном случае функция «зет» зависит от двух функций («у» и «вэ»).

2) От каких переменных зависят вложенные функции? В данном случае оба «вкладыша» зависят только от «икса».

Таким образом, у вас не должно возникнуть трудностей, чтобы адаптировать формулу к этой задаче!

Краткое решение и ответ в конце урока.

Дополнительные примеры по первому виду можно найти в задачнике Рябушко (ИДЗ 10.1) , ну а мы берём курс на функцию трёх переменных :

Пример 3

Дана функция , где .
Вычислить производную в точке

Формула производной сложной функции , как многие догадываются, имеет родственный вид:

Решайте, раз догадались =)

На всякий случай приведу и общую формулу для функции :
, хотя на практике вы вряд ли встретите что-то длиннее Примера 3.

Кроме того, иногда приходится дифференцировать «урезанный» вариант – как правило, функцию вида либо . Оставляю вам этот вопрос для самостоятельного исследования – придумайте какую-нибудь простенькие примеры, подумайте, поэкспериментируйте и выведите укороченные формулы производных.

Если что-то осталось недопонятым, пожалуйста, неторопливо перечитайте и осмыслите первую часть урока, поскольку сейчас задача усложнится:

Пример 4

Найти частные производные сложной функции , где

Решение : данная функция имеет вид , и после прямой подстановки и мы получаем привычную функцию двух переменных:

Но такой страх не то чтобы не принято, а уже и не хочется дифференцировать =) Поэтому воспользуемся готовыми формулами. Чтобы вы быстрее уловили закономерность, я выполню некоторые пометки:

Внимательно просмотрите картинку сверху вниз и слева направо….

Сначала найдём частные производные «главной» функции:

Теперь находим «иксовые» производные «вкладышей»:

и записываем итоговую «иксовую» производную:

Аналогично с «игреком»:

и

Можно придерживаться и другого стиля – сразу найти все «хвосты» и потом записать обе производные.

Ответ :

О подстановке что-то как-то совсем не думается =) =), а вот причесать результаты немножко можно. Хотя, опять же, зачем? – только усложните проверку преподавателю.

Если потребуется, то полный дифференциал тут записывается по обычной формуле, и, кстати, как раз на данном шаге становится уместной лёгкая косметика:


Такой вот... ....гроб на колёсиках.

Ввиду популярности рассматриваемой разновидности сложной функции пара заданий для самостоятельного решения. Более простой пример в «полуобщем» виде – на понимание самой формулы;-):

Пример 5

Найти частные производные функции , где

И посложнее – с подключением техники дифференцирования:

Пример 6

Найти полный дифференциал функции , где

Нет, я вовсе не пытаюсь «отправить вас на дно» – все примеры взяты из реальных работ, и «в открытом море» вам могут попасться какие угодно буквы. В любом случае потребуется проанализировать функцию (ответив на 2 вопроса – см. выше) , представить её в общем виде и аккуратно модифицировать формулы частных производных. Возможно, сейчас немного попутаетесь, но зато поймёте сам принцип их конструирования! Ибо настоящие задачи только начинаются:)))

Пример 7

Найти частные производные и составить полный дифференциал сложной функции
, где

Решение : «главная» функция имеет вид и по-прежнему зависит от двух переменных – «икса» и «игрека». Но по сравнению с Примером 4, добавилась ещё одна вложенная функция, и поэтому формулы частных производных тоже удлиняются. Как и в том примере, для лучшего вИдения закономерности, я выделю «главные» частные производные различными цветами:

И снова – внимательно изучите запись сверху вниз и слева направо.

Так как задача сформулирована в «полуобщем» виде, то все наши труды, по существу, ограничиваются нахождением частных производных вложенных функций:

Справится первоклассник:

И даже полный дифференциал получился вполне себе симпатичный:

Я специально не стал предлагать вам какую-то конкретную функцию – чтобы лишние нагромождения не помешали хорошо разобраться в принципиальной схеме задачи.

Ответ :

Довольно часто можно встретить «разнокалиберные» вложения, например:

Здесь «главная» функция хоть и имеет вид , но всё равно зависит и от «икс», и от «игрек». Поэтому работают те же самые формулы – просто некоторые частные производные будут равны нулю. Причём, это справедливо и для функций вроде , у которых каждый «вкладыш» зависит от какой-то одной переменной.

Похожая ситуация имеет место и в двух заключительных примерах урока:

Пример 8

Найти полный дифференциал сложной функции в точке

Решение : условие сформулировано «бюджетным» образом, и мы должны сами обозначить вложенные функции. По-моему, неплохой вариант:

Во «вкладышах» присутствуют (ВНИМАНИЕ! ) ТРИ буквы – старые-добрые «икс-игрек-зет», а значит, «главная» функция фактически зависит от трёх переменных. Её можно формально переписать в виде , и частные производные в этом случае определяются следующими формулами:

Сканируем, вникаем, улавливаем….

В нашей задаче:

Дифференцирование сложных функций

Пусть для функции n - переменных аргументы являются также функциями переменных :

Справедлива следующая теорема о дифференцировании сложной функции.

Теорема 8. Если функции дифференцируемы в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , где , . Тогда сложная функция дифференцируема в точке , причем частные производные определяются по формулам

где частные производные вычисляются в точке , а вычисляются в точке .

ƒ Докажем эту теорему для функции двух переменных. Пусть , а .

Пусть и произвольные приращения аргументов и в точке . Им соответствуют приращения функций и в точке . Приращениям и соответствует приращение функции в точке . Так как дифференцируема в точке , то ее приращение может быть записано в виде

где и вычисляются в точке , при и . В силу дифференцируемости функций и в точке , получаем

где вычисляется в точке ; .

Подставим (14) в (13) и перегруппируем слагаемые

Заметим, что при , так как и стремятся к нулю при . Это следует из того, что бесконечно малые при и . Но функции и дифференцируемы, а, следовательно, и непрерывны в точке . Поэтому если и , то . Тогда и при .

Так как частные производные вычисляются в точке , то получаем

Обозначим

а это и означает, что дифференцируема по переменным и , причем

Следствие. Если , причем , , т.е. , то производная по переменной t вычисляется по формуле

Если , то

Последнее выражение называетсяформулой полной производной для функции многих переменных.

Примеры. 1) Найти полную производную функции , где , .

Решение .

2) Найти полную производную функции , если , .

Решение .

Используя правила дифференцирования сложной функции, получим одно важное свойство дифференциала функции многих переменных.

Если независимые переменные функции , то дифференциал по определению равен:

Пусть теперь аргументы есть дифференцируемые функции в некоторой точке функции по переменным , а функция дифференцируема по переменным , . Тогда можно рассматривать как сложную функцию переменных , . Она по предыдущей теореме дифференцируема и имеет место соотношение

где определяется по формулам (12). Подставим (12) в (17) и, собирая коэффициенты при , получим

Поскольку коэффициент при производной равен дифференциалу функции , то для дифференциала сложной функции получили снова формулу (16).

Таким образом, формула первого дифференциала не зависит от того, являются ли ее аргументы функциями, или они независимыми. Это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Формулу Тейлора (29) также можно записать в виде

ƒ Доказательство проведем для функции двух переменных или .

Сначала рассмотрим функцию одной переменной . Пусть раз дифференцируема в окрестности точки . Формула Тейлора для функции одной переменной с остаточным членом в формуле Лагранжа имеет

Так как – независимая переменная, то . По определению дифференциала функции одной переменной

Если обозначить , то (31) можно записать в виде

Рассмотрим некоторую - окрестность точки и в ней произвольную точку и соединим точки и отрезком прямой линии . Ясно, что координаты и точек этой прямой есть линейные функции параметра .

На отрезке прямой функция является сложной функцией параметра , т. к. . При этом она раз дифференцируема по на и для справедлива формула Тейлора (32), где , т.е.

Дифференциалы в формуле (32) представляют собой дифференциалы сложной функции , где , , , т.е.

Подставляя (33) в (32) и учитывая, что , получаем

Последнее слагаемое в (34) называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа

Без доказательства отметим, что если в условиях теоремы функция дифференцируема в точке m раз, то остаточный член можно записать в форме Пеано :

Глава 7. Функции нескольких переменных

7.1. Пространство R n . Множества в линейном пространстве.

Множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы из n действительных чисел , обозначается и называется n-мерным арифметическим пространством ,а числоn называется размерностью пространства. Элемент множества называется точкой пространства, или вектором, а числа координатами этой точки. Точка =(0, 0, …0) называется нулевой или началом координат.

Пространство – есть множество действительных чисел, т.е. – числовая прямая; и – есть двумерная координатная геометрическая плоскость и трехмерное координатное геометрическое пространство соответственно. Векторы , , …, называются единичным базисом.

Для двух элементов , множества определяются понятия суммы элементов и произведения элемента на действительное число:

Очевидно, что и в силу этого определения и свойств действительных чисел справедливы равенства:

Согласно этим свойствам, пространство называется также линейным (векторным) пространством.

В линейном пространстве определяется скалярное произведение элементов и как действительное число, вычисляемое по следующему правилу:

Число называется длиной вектора или нормой . Векторы и называются ортогональными , если . Величина

, )= │ - │ =

называется расстоянием между элементами и .

Если и ненулевые векторы, то углом между ними называется угол , такой, что

Легко убедиться, что для любых элементов и действительного числа , выполняются скалярного произведения:

Линейное пространство с определенным в нем по формуле (1) скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Пусть точка и . Множество всех точек для которых выполняются неравенства

называется n -мерным кубом с ребром и с центром в точке . Например, двумерный куб есть квадрат со стороной с центром в точке .

Множество точек , удовлетворяющих неравенству , называются n-мерным шаром радиуса с центром в точке , который также называют

- окрестностью точки в и обозначают ,

Таким образом, одномерный шар есть интервал длиной . Двумерный шар

есть круг, для которого выполняется неравенство

Определение 1 . Множество называется ограниченным , если существует
n - мерный шар, содержащий это множество.

Определение 2 . Функция, заданная на множестве натуральных чисел и принимающая значения, принадлежащие , называется последовательностью в пространстве и обозначается , где .

Определение 3 . Точка называется пределом последовательности , если для произвольного положительного числа существует натуральное число , такое что для любого числа выполняется неравенство .

Символически это определение записывается следующим образом:

Обозначение:

Из определения 3 следует, что , при . Такая последовательность называется сходящейся к .

Если последовательность не является сходящейся ни к одной точке, то она называется расходящейся .

Теорема 1. Для того чтобы последовательность сходилась к точке необходимо и достаточно, чтобы для любого номера выполнялось , т.е. чтобы последовательность i - х координат точек сходилась к i - й координате точки .

□ Доказательствоследует из неравенств

Последовательность называется ограниченной , если множество её значений ограничено, т.е.

Как и числовая последовательность, сходящаяся последовательность точек ограничена и имеет единственный предел.

Определение 4 . Последовательность называется фундаментальной (последовательностью Коши ), если для любого положительного числа можно указать такое натуральное число , что для произвольных натуральных чисел и , больших , выполняется , т.е.

Теорема 2 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

□ Необходимость. Пусть сходится к точке . Тогда получаем последовательность , сходящуюся к . . . , …, Х называют областью в . Если Х – область, то ее замыкание называют замкнутой областью .

Множества X и Y называют отделимыми , если ни одно из них не содержит точек прикосновения другого.

Множество Х называют связанным , если оно не может быть представлено в виде объединения двух отделимых множеств.

Множество Х называют выпуклым, если любые его две точки можно соединить отрезком, целиком принадлежащим этому множеству.

Пример . Опираясь на сформулированные выше определения, можно утверждать, что

– связанное, линейно-связанное, открытое, невыпуклое множество, является областью.

– связанное, линейно-связанное, неоткрытое, невыпуклое множество, не является областью.

– несвязанное, не линейно-связанное, открытое, невыпуклое множество, не является областью.

– несвязанное, не линейно-связанное, открытое множество, не является областью.

– связанное, линейно-связанное, открытое множество, является областью.

Приводится доказательство формулы производной сложной функции. Подробно рассмотрены случаи, когда сложная функция зависит от одной и двух переменных. Производится обобщение на случай произвольного числа переменных.

Содержание

См. также: Примеры применения формулы производной сложной функции

Основные формулы

Здесь мы приводим вывод следующих формул для производной сложной функции.
Если , то
.
Если , то
.
Если , то
.

Производная сложной функции от одной переменной

Пусть функцию от переменной x можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
где и есть некоторые функции. Функция дифференцируема при некотором значении переменной x . Функция дифференцируема при значении переменной .
Тогда сложная (составная) функция дифференцируема в точке x и ее производная определяется по формуле:
(1) .

Формулу (1) также можно записать так:
;
.

Доказательство

Введем следующие обозначения.
;
.
Здесь есть функция от переменных и , есть функция от переменных и . Но мы будем опускать аргументы этих функций, чтобы не загромождать выкладки.

Поскольку функции и дифференцируемы в точках x и , соответственно, то в этих точках существуют производные этих функций, которые являются следующими пределами:
;
.

Рассмотрим следующую функцию:
.
При фиксированном значении переменной u , является функцией от . Очевидно, что
.
Тогда
.

Поскольку функция является дифференцируемой функцией в точке , то она непрерывна в этой точке. Поэтому
.
Тогда
.

Теперь находим производную.

.

Формула доказана.

Следствие

Если функцию от переменной x можно представить как сложную функцию от сложной функции
,
то ее производная определяется по формуле
.
Здесь , и есть некоторые дифференцируемые функции.

Чтобы доказать эту формулу, мы последовательно вычисляем производную по правилу дифференцирования сложной функции.
Рассмотрим сложную функцию
.
Ее производная
.
Рассмотрим исходную функцию
.
Ее производная
.

Производная сложной функции от двух переменных

Теперь пусть сложная функция зависит от нескольких переменных. Вначале рассмотрим случай сложной функции от двух переменных .

Пусть функцию , зависящую от переменной x , можно представить как сложную функцию от двух переменных в следующем виде:
,
где
и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x ;
- функция от двух переменных, дифференцируемая в точке , . Тогда сложная функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в производную, которая определяется по формуле:
(2) .

Доказательство

Поскольку функции и дифференцируемы в точке , то они определены в некоторой окрестности этой точки, непрерывны в точке и существуют их производные в точке , которые являются следующими пределами:
;
.
Здесь
;
.
В силу непрерывности этих функций в точке имеем:
;
.

Поскольку функция дифференцируема в точке , то она определена в некоторой окрестности этой точки, непрерывна в этой точке и ее приращение можно записать в следующем виде:
(3) .
Здесь

- приращение функции при приращении ее аргументов на величины и ;
;

- частные производные функции по переменным и .
При фиксированных значениях и , и есть функции от переменных и . Они стремятся к нулю при и :
;
.
Поскольку и , то
;
.

Приращение функции :

. :
.
Подставим (3):



.

Формула доказана.

Производная сложной функции от нескольких переменных

Приведенный выше вывод легко обобщается на случай, когда число переменных сложной функции больше двух.

Например, если f является функцией от трех переменных , то
,
где
, и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x ;
- дифференцируемая функция, от трех переменных, в точке , , .
Тогда, из определения дифференцируемости функции , имеем:
(4)
.
Поскольку, в силу непрерывности,
; ; ,
то
;
;
.

Разделив (4) на и выполнив предельный переход , получим:
.

И, наконец, рассмотрим самый общий случай .
Пусть функцию от переменной x можно представить как сложную функцию от n переменных в следующем виде:
,
где
есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x ;
- дифференцируемая функция от n переменных в точке
, , ... , .
Тогда
.

См. также: